位运算-递归-递推

90 64位整数乘法

• 快速幂: 乘法 实现 乘方
• 快速加: 加法 实现 乘法

#include <cstdio>

typedef long long LL;

LL qadd(LL a, LL b, LL p)
{
    LL res = 0;
    while (b)
    {
        if (b & 1) res = (res + a) % p;
        a = (a + a) % p;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    LL a, b, p;
    scanf("%lld%lld%lld", &a, &b, &p);
    printf("%lld\n", qadd(a, b, p));

    return 0;
}

95 费解的开关

题面:

你玩过“拉灯”游戏吗？

25 盏灯排成一个 5×5 的方形。

每一个灯都有一个开关，游戏者可以改变它的状态。

每一步，游戏者可以改变某一个灯的状态。

游戏者改变一个灯的状态会产生连锁反应：和这个灯上下左右相邻的灯也要相应地改变其状态。

我们用数字 1 表示一盏开着的灯，用数字 0 表示关着的灯。

分析:

#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 6;

char g[N][N], bg[N][N];
int dx[5] = {-1, 0, 1, 0, 0}, dy[5] = {0, 1, 0, -1, 0};

void turn(int x, int y)  // 按一下第x行第y列的开关
{
    for (int i = 0; i < 5; i ++ )
    {
        int a = x + dx[i], b = y + dy[i];
        if (a < 0 || a >= 5 || b < 0 || b >= 5) continue;
        g[a][b] ^= 1;
    }
}

int main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T -- )
    {
        for (int i = 0; i < 5; i ++ ) scanf("%s", bg[i]);

        int res = 10;
        for (int op = 0; op < 32; op ++ )
        {
            int cnt = 0;
            memcpy(g, bg, sizeof g);
            // 操作第一行的开关
            for (int i = 0; i < 5; i ++ )
                if (op >> i & 1)
                {
                    turn(0, i);
                    cnt ++ ;
                }

            // 递推出第1~4行开关的状态
            for (int i = 0; i < 4; i ++ )
                for (int j = 0; j < 5; j ++ )
                    if (g[i][j] == '0')
                    {
                        turn(i + 1, j);
                        cnt ++ ;
                    }

            // 检查最后一行灯是否全亮
            bool success = true;
            for (int i = 0; i < 5; i ++ )
                if (g[4][i] == '0')
                    success = false;
            if (success && res > cnt) res = cnt;
        }

        if (res > 6) res = -1;
        printf("%d\n", res);
    }

    return 0;
}

为什么这里要bg?

97 约数之和

假设现在有两个自然数 A 和 B，S 是 \(A^B\) 的所有约数之和。

请你求出 \(S\mod9901\) 的值是多少。

方法1: 公式 快速幂 逆元

方法2: 递推公式

#include <cstdio>

const int mod = 9901;

int qmi(int a, int k) // 快速幂模板: a^k
{
    int res = 1;
    a %= mod;
    while (k)
    {
        if (k & 1) res = res * a % mod;
        a = a * a % mod;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}

int sum(int p, int k) // 递推公式
{
    if (k == 1) return 1;
    if (k % 2 == 0) return (1 + qmi(p, k / 2)) * sum(p, k / 2) % mod;
    return (sum(p, k - 1) + qmi(p, k - 1)) % mod;
}

int main()
{
    int a, b;
    scanf("%d%d", &a, &b);

    int res = 1;

    // 对a分解质因数: 纯模板, 试除法
    for (int i = 2; i * i <= a; i ++ )
        if (a % i == 0)
        {
            int s = 0;
            while (a % i == 0)
            {
                a /= i, s ++ ;
            }
            res = res * sum(i, b * s + 1) % mod;
        }

    if (a > 1) res = res * sum(a, b + 1) % mod;
    if (a == 0) res = 0;

    printf("%d\n", res);

    return 0;
}

98 分形之城

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>

typedef long long LL;

struct Point
{
    LL x, y;
};

Point get(LL n, LL a)
{
    if (n == 0) return {0, 0};
    // block size = 2^{2n-2}
    // 1ll: long long 类型的 1
    LL block = 1ll << n * 2 - 2, len = 1ll << n - 1;
    auto p = get(n - 1, a % block);
    LL x = p.x, y = p.y;
    int z = a / block;

    if (z == 0) return {y, x};
    else if (z == 1) return {x, y + len};
    else if (z == 2) return {x + len, y + len};
    return {len * 2 - 1 - y, len - 1 - x};
}

int main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T -- )
    {
        LL n, a, b;
        scanf("%lld%lld%lld", &n, &a, &b);
        auto pa = get(n, a - 1);
        auto pb = get(n, b - 1);
        double dx = pa.x - pb.x, dy = pa.y - pb.y;
        printf("%.0lf\n", sqrt(dx * dx + dy * dy) * 10);
    }

    return 0;
}